Powerofdreams

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer n ≥ 1 olan bir tamsayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,(Z/nZ)× veya Zn* olarak gösterilir. Bir asal sayı için p ≥ 3 ve k ≥ 1 ise, bu grup ancak ve ancak 1, 2, 4, pk, veya 2 pk 'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya Zn* 'in bir asal elemanıdır şeklinde tanımlanır.
Bir asal kök modülü n, diğer bir değişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tamsayıdırki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tamsayı, g 'nin bir kuvvetine denktir. Örneğin n=14 alalım.(Z/14Z)× 'in elemanları
1, 3, 5, 9, 11 ve 13 'ün denk sınıflarından oluşur. mod 14'e göre 32 ≡ 9, 33 ≡ 13, 34 ≡ 11, 35 ≡ 5 ve 36 ≡ 1 olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.
n nk (mod 14) – (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrardan sonra kesilmiştir)
1 : 1,
2 : 2, 4, 8
3 : 3, 9, 13, 11, 5, 1
4 : 4, 2, 8
5 : 5, 11, 13, 9, 3, 1
6 : 6, 8
7 : 7,
8 : 8,
9 : 9, 11, 1
10 : 10, 2, 6, 4, 12, 8
11 : 11, 9, 1
12 : 12, 4, 6, 2, 10, 8
13 : 13, 1
14 : 0, 14'le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.
Problemi f(n, k) = nk − 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.