Powerofdreams

, X'ten Y'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her için f(x1) = f(x2) eşitliği x1 = x2 eşitliğini gerektiriyorsa, yani X'in iki değişik elemanı Y'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman f fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.
Örneğin, f(x) = x2 kuralıyla tanımlanan fonksiyonu birebir değildir çünkü - gene - örneğin f( − 5) = f(5) eşitliği sağlanır; öte yandan gene g(x) = x2 kuralıyla tanımlanan fonksiyonu birebirdir.
Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer ve birebir iki fonksiyonsa o zaman fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.
Eğer ve iki fonksiyonsa ve (bkz. bileşke) birebirse o zaman f fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer için f(x1) = f(x2) ise, o zaman her iki tarafı da g'de değerlendirerek, g(f(x1)) = g(f(x2)) elde ederiz, yani . Buradan da birebir olduğundan x1 = x2 çıkar.
Cantor'un kümeler kuramına göre eğer X'ten Y'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, X'in Y'den "daha az" elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne göre ve ise 'dır, yani ile Y arasında bir eşleme vardır.