Türevin, Anlamı, (Mat-2)

Matematik hakkında bilgiler

musti · 27-03-2008, 22:02

Türevin Anlamı (Mat-2)

TÜREVİN ANLAMI

A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI
Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı,

fonksiyonu ile verilsin.
Hareketlinin t anındaki hızı:

ve t anındaki ivmesi

olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir.

B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için:
m = tana dır.

Kural
y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi
A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.
f'(x0) = m = tana dır.

Kural
Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi,

olur.

Kural
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı � 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi:

Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi,

C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR
1. Artan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.
Her x1, x2 Î B için,
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır.

2. Azalan Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.
Her x1, x2 Î B için,
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır.

Uyarı
Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.
Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

3. Sabit Fonksiyon

bir fonksiyon olsun.
Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir.

D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ
1. Ekstremum Noktalar

bir fonksiyon ve
a, b Î A olsun.
Her x Î (a, b) için,

olacak şekilde bir
p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir.
Her x Î A için,

olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir.

bir fonksiyon ve a, b Î A olsun.
Her x Î (a, b) için,

olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir.
Her x Î A için,

olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir.

Tanım

Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir.

Kural

Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir.

2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır.

h > 0 olmak üzere,

ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir.
Yerel minimum değer, f(x0) dır.

Uyarı

Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir.

Sonuç
Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir.
Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin � den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan � ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır.

3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi
Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır.

Kural

ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır.

E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
1. Konveks Eğriler
f, [a, b] aralığından

ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
[a, b] aralığında f''(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir.

2. Konkav Eğriler
f, [a, b] aralığından

ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
a, b] aralığında f''(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır.
Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır.

3. Dönüm (büküm) Noktası
f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir.
Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir.

Uyarı
x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.
x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir.
x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır.

Uyarı

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir.
1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır.
Bu aralıkta f'(x) < 0 dır.
2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f'(x) > 0 dır.
3. a < x < c için f''(x) > 0 dır.
4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f'(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır.
5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle,
f''(c) = 0 dır.

__________________
Dalgaların Bilgiye Dönüştüğü Tek Deniz

27-03-2008, 22:02	#1
musti Astsubay Kıdemli Başçavuş Üyelik tarihi: Dec 2007 Mesajlar: 581 Üye No:1925 Konular: 47 Katılım: 0% Devamlılık: 60% Online Süresi: --- Ruh Halim: Teşekkür Sayısı: 691 27 Konuda,97 Kez Teşekkür Aldı Rep Puanı: 1645101 Rep:	Türevin, Anlamı, (Mat-2) Türevin Anlamı (Mat-2) TÜREVİN ANLAMI A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile verilsin. Hareketlinin t anındaki hızı: ve t anındaki ivmesi olur. Diğer bir ifadeyle, yol fonksiyonunun birinci türevi anlık hızı; ikinci türevi ivmeyi verir. B. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI y = f(x) fonksiyonunun A(x0, y0) noktasındaki teğetinin Ox ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü a olsun. Teğetin eğimi, tana ya eşit olduğu için: m = tana dır. Kural y = f(x) fonksiyonunun x = x0 daki türevi A(x0, y0) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir. f'(x0) = m = tana dır. Kural Eğimi m olan ve A(x0, y0) noktasından geçen doğrunun denklemi, olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki teğetinin denklemi, olur. Kural Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı � 1 olduğu için, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin eğimi: Buna bağlı olarak, y = f(x) eğrisinin A(x0, y0) noktasındaki normalinin denklemi, C. ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR 1. Artan Fonksiyon bir fonksiyon olsun. Her x1, x2 Î B için, x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde artandır. 2. Azalan Fonksiyon bir fonksiyon olsun. Her x1, x2 Î B için, x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde azalandır. Uyarı Artan fonksiyonun türevi daima pozitiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Azalan fonksiyonun türevi daima negatiftir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. 3. Sabit Fonksiyon bir fonksiyon olsun. Her x1, x2 Î B için, f(x1) = f(x2) ise f(x) fonksiyonu B üzerinde sabittir. D. EKSTREMUM DEĞERLER ve BUNLARIN TÜREVLE İLİŞKİSİ 1. Ekstremum Noktalar bir fonksiyon ve a, b Î A olsun. Her x Î (a, b) için, olacak şekilde bir p Î (a, b) varsa, f(p) ye yerel maksimum denir. Her x Î A için, olacak şekilde bir p Î A varsa, f(p) ye mutlak maksimum değer denir. bir fonksiyon ve a, b Î A olsun. Her x Î (a, b) için, olacak şekilde bir r Î (a, b) varsa, f(r) ye yerel minimum değer denir. Her x Î A için, olacak şekilde bir r Î A varsa, f(r) ye mutlak minimum değer denir. Tanım Fonksiyon maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden, fonksiyonun yerel ekstremum değerleri denir. Kural Fonksiyon ekstremum noktalarda türevli ise, türevi sıfırdır. Tersi her zaman doğru değildir. 2. Birinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değer, f(x0) dır. h > 0 olmak üzere, ise y = f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değer, f(x0) dır. Uyarı Yukarıda verilen tanım türevlenebilir fonksiyonlar için doğrudur. Ancak y = f(x) fonksiyonu x = x0 da türevsiz olduğu hâlde x = x0 da yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahip olabilir. Sonuç Birinci türevin sıfır olduğu noktada, türevin işareti değişiyorsa yerel maksimuma ya da yerel minimuma sahiptir. Fonksiyonun türevinin işaret tablosunda soldan sağa doğru, işaretin � den + ya geçtiği noktada yerel minimum; işaretin + dan � ye geçtiği noktada yerel maksimum vardır. 3. İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktaların Belirlenmesi Kural ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel maksimuma sahiptir. Yerel maksimum değeri, f(x0) dır. Kural ise f(x) fonksiyonu x = x0 da yerel minimuma sahiptir. Yerel minimum değeri, f(x0) dır. E. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI 1. Konveks Eğriler f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun. [a, b] aralığında f''(x) > 0 ise, f nin grafiği olan eğri konveks (dış bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü yukarı doğrudur. Eğri, teğetlerinin yukarısındadır. Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konvekstir. 2. Konkav Eğriler f, [a, b] aralığından ye tanımlı türevlenebilir bir fonksiyon olsun. a, b] aralığında f''(x) < 0 ise, f nin grafiği olan eğri konkav (iç bükey) dir. Diğer bir ifadeyle, bükülme yönü aşağı doğrudur. Eğri, teğetlerinin altındadır. Aşağıdaki grafiklerde verilen eğrilerin üçü de konkavdır. 3. Dönüm (büküm) Noktası f, sürekli olmak üzere, fonksiyonun konvekslikten konkavlığa ya da konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya dönüm (büküm) noktası denir. Diğer bir ifadeyle, f nin grafiği olan eğrinin, eğrilik yönünün değiştiği noktaya, dönüm (büküm) noktası denir. Uyarı x = x0 noktasının dönüm noktası olması, x = x0 da ikinci türevin olmasını garanti etmez. Yani, dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir. x = x0 ın ikinci türevin kökü olması, x = x0 ın dönüm noktası olmasını garanti etmez. Dönüm noktasında ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir. x = x0 dönüm noktası ve bu noktada ikinci türev tanımlı ise, ikinci türev sıfırdır. Uyarı y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre c büküm noktasının apsisi ise aşağıdakiler söylenebilir. 1. (a < x < b ve d < x < e ) için fonksiyon azalandır. Bu aralıkta f'(x) < 0 dır. 2. b < x < d için fonksiyon artandır. Bu aralıkta f'(x) > 0 dır. 3. a < x < c için f''(x) > 0 dır. 4. x = b de f(x) in yerel minimumu, x = d de f(x) in yerel maksimumu vardır. Bu nedenle, f'(b) = 0 ve f'(d) = 0 dır. 5. x = c de f(x) in dönüm noktası vardır. Bu nedenle, f''(c) = 0 dır. __________________ Dalgaların Bilgiye Dönüştüğü Tek Deniz

İlginizi Çekebilecek Benzer Konular
Konu	Yazan	Forum	Cevap	Son Mesaj
Hayatın Anlamı	Powerofdreams	Komik Yazılar	2	01-04-2008 01:04
Kelimeler ve Anlamı	Mehmet	Lüzumsuz Bilgiler	3	16-02-2008 22:33
S.O.S.'in Anlamı Ne ?	Woody	Bunları Biliyormuydunuz?	0	18-01-2008 23:58
Hayatın anlamı	Mehmet	Komik Resimler	0	22-12-2007 18:58
Hayatın Anlamı	Mehmet	Edebiyat -Felsefe	1	11-12-2007 21:16

Seçenekler
Yazdırılabilir şekli göster Konuyu E-Mail olarak Arkadaşınıza Gönderin
Stil
Normal Hybrid-Şeklinde gösterime geç Ağaç şeklinde gösterime geç

Dalgaların Bilgiye Dönüştüğü Tek Deniz
Sitede Bulmak İstediklerinizi Arayarak Bulabilirsiniz

Konu Bilgileri
	Türevin, Anlamı, (Mat-2) Matematik hakkında bilgiler Cevap: 0 Görüntüleme: 204

Türevin, Anlamı, (Mat-2) Matematik hakkında bilgiler

Türevin, Anlamı, (Mat-2)

Matematik hakkında bilgiler