Limit ve Süreklilik (Mat-2)

Matematik hakkında bilgiler

musti · 27-03-2008, 01:53

Limit ve Süreklilik (Mat-2)

LİMİT ve SÜREKLİLİK

I. LİMİT
A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve

biçiminde gösterilir.
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve

biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI
Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), ... noktalarını göz önüne alalım:
Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları
f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, ... giderek b ye yaklaşır.
Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,
f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

şeklinde gösterilir.
Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan
E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , ... noktalarını göz önüne alalım.
Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , ... giderek d ye yaklaşır.
Bu durumu �x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.� şeklinde ifade edebiliriz.
Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

biçiminde gösterilir.

Kural
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.
Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

Kural

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

Özellik

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ
Özellik

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
f(x) = sgn [g(x)] olsun.

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.
Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.
Söz gelimi,

fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ
Özellik

I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1. sinx in ve cosx in limiti
sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

2. tanx in limiti
tanx fonksiyonu

olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

3. cotx in limiti
cotx fonksiyonu

olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L�Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural

Kural
m, n Î N olmak üzere,

olur.

Kural
a > 0 olmak üzere, ¥ � ¥ belirsizliği olan limitler,

kuralını kullanarak hesaplanabilir.

Kural

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği

veya

belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

Kural

II. SÜREKLİLİK
Kural

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

Uyarı

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

Kural
1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.
2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.
3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

__________________
Dalgaların Bilgiye Dönüştüğü Tek Deniz

27-03-2008, 01:53	#1
musti Astsubay Kıdemli Başçavuş Üyelik tarihi: Dec 2007 Mesajlar: 581 Üye No:1925 Konular: 47 Katılım: 0% Devamlılık: 60% Online Süresi: --- Ruh Halim: Teşekkür Sayısı: 691 27 Konuda,97 Kez Teşekkür Aldı Rep Puanı: 1645101 Rep:	Limit ve Süreklilik (Mat-2) Limit ve Süreklilik (Mat-2) LİMİT ve SÜREKLİLİK I. LİMİT A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir. x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir. B. LİMİT KAVRAMI Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım: Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), ... noktalarını göz önüne alalım: Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, ... giderek b ye yaklaşır. Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda, f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve şeklinde gösterilir. Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , ... noktalarını göz önüne alalım. Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , ... giderek d ye yaklaşır. Bu durumu �x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.� şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve biçiminde gösterilir. Kural f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise, biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir. f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur. C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir. Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre, Kural D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER Özellik f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun. Özellik Özellik Özellik Özellik Özellik E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ Özellik F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ Özellik f(x) = sgn [g(x)] olsun. Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir. G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ Özellik Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır. H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ Özellik I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ 1. sinx in ve cosx in limiti sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için, olur. 2. tanx in limiti tanx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için, olur. Sonuç 3. cotx in limiti cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için, olur. Sonuç J. BELİRSİZLİK DURUMLARI belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L�Hospital kuralıyla da hesaplanabilir. Kural Kural m, n Î N olmak üzere, olur. Kural a > 0 olmak üzere, ¥ � ¥ belirsizliği olan limitler, kuralını kullanarak hesaplanabilir. Kural Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir. Kural II. SÜREKLİLİK Kural f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir. Sonuç y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise, Uyarı f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir. Kural 1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir. 2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir. 3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir. __________________ Dalgaların Bilgiye Dönüştüğü Tek Deniz

İlginizi Çekebilecek Benzer Konular
Konu	Yazan	Forum	Cevap	Son Mesaj
Süreklilik Hipotezi	Powerofdreams	Matematik	0	07-12-2007 01:49
Süreklilik	Powerofdreams	Matematik	0	07-12-2007 01:49
Limit hesaplama	Powerofdreams	Matematik	0	07-12-2007 01:34
Süreçsel Süreklilik Modeli	Mehmet	Edebiyat -Felsefe	0	01-10-2007 02:42
Anadolu'da tarihsel ve kültürel süreklilik	hero0oo	Genel kültür ve Sanat	0	30-09-2007 18:44

Seçenekler
Yazdırılabilir şekli göster Konuyu E-Mail olarak Arkadaşınıza Gönderin
Stil
Normal Hybrid-Şeklinde gösterime geç Ağaç şeklinde gösterime geç

Dalgaların Bilgiye Dönüştüğü Tek Deniz
Sitede Bulmak İstediklerinizi Arayarak Bulabilirsiniz

Konu Bilgileri
	Limit ve Süreklilik (Mat-2) Matematik hakkında bilgiler Cevap: 0 Görüntüleme: 298

Limit ve Süreklilik (Mat-2) Matematik hakkında bilgiler

Limit ve Süreklilik (Mat-2)

Matematik hakkında bilgiler